Metode Lagrange

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika adalah disiplin ilmu yang tentang tata cara berfikir dan mengolah logika, baik secara kuantitatif maupun secara kualitatif. Pada matematika diletakkan dasar bagaimana mengembangkan cara berfikir dan bertindak melalui aturan yang disebut dalil (dapat dibuktikan) dan aksioma (tanpa pembuktian). Selanjutnya dasar tersebut dianut  dan digunakan oleh bidang studi atau  ilmu lain (tim MKPBM, 2001:253).

Kalkulus merupakan salah satu diantara pokok pelajaran matematika yang aplikasinya sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari. Seiring dengan perkembangan zaman, kalkulus  mencakup hal-hal yang lebih luas.

Dalam kehidupan modern sekarang ini, kalkulus dianggap penting untuk dipelajari. Oleh karena itu untuk menambah wawasan mahasiswa materi  kalkulus, penulis mengangkat salah satu dari sekian banyak materi kalkulus mengenai “Metode Langrange Multiplier”.

B. Rumusan Masalah

            Bagaimana cara penerapan metode Lagrange Multiplier dalam mencari nilai-nilai minimum relative dan maksimum relatif ?

C. Tujuan masalah

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

1.    Untuk mengetahui sejauh mana kemampuan mahasiswa (penulis) dalam memahami materi yang dipilihnya.

2.    Untuk mengetahui  cara penerapan metode Lagrange Multiplier dalam mencari nilai-nilai minimum relatif dan maksimum relatif dari fungsi f(x,y).

D. Batasan masalah

Makalah ini membahas metode Lagrange Multiplier dalam mencari nilai-nilai minimum relatif dan maksimum relative dari fungsi f(x,y)..

E. Manfaat Masalah

Adapun manfaat  dari  metode Lagrange Multiplier ini adalah untuk mencari nilai-nilai minimum relatif dan maksimum relative dari fungsi f(x,y).

BAB II

PEMBAHASAN

A. Materi Penunjang

Persamaan Umum Turunan Parsial :

Fungsi () tergantung pada x saja dan didefenisikan dalam interval sekitar . Maka turunannya terhadap x di x=x mungkin ada. Jika ada, nilainya disebut “Turunan parsial” dari f (x,y) terhadap x di ()  dan dinyatakan oleh :

 ()  atau oleh  ()

B. Materi Pokok

Salah satu masalah umum kalkulus multivariabel adalah memperoleh nilai-nilai  maksimum atau minimum dari suatu fungsi,  Kesulitan ini sering timbul ketika memaksimalkan atau meminimalkan fungsi mengikuti kendala. Metode Lagrange adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah ini.

Metode Lagrange Multiplier adalah suatu metode untuk memperoleh nilai-nilai maksimum relative atau minimum relative dari fungsi f (x,y)yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g (x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.

F() = f(x,y) + g(x,y)

Dengan persyaratan :

Yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minum relative. Parameter  yang tidaktergantung pada x dan y disebut pengali lagrange.

Untuk  suatu masalah yang melibatkan suatu persyaratan , diperlukan suatu parameter sebagai Pengali Lagrange.

            Jika f (x,y) aadalah fungsi yang ditentukan maksimum atau minimum relatifnya dan  g (x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk :

F() = f(x,y) +  g(x,y)

Fungsi penolong  F (x,y) ini adalah fungsi dari tiga variable x, y dan . Relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relative dari f (x,y) dengan persyaratan g (x,y) = 0. Maka harus dipenuhi persyaratan :

 +   =  0

   +    =  0

  g  ( x, y )  =  0

Setiap penyelesaian dari system persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f ( x, y).

Contoh :

1). Tentukan nilai maksimum dari f(x,y)=xy dengan syarat :

g (x,y)= x + y – 16 = 0

Jawab :

F () = f (x,y) +  g (x,y)

          = xy +  (x = y - 16)

 y +  = 0                              y = -

      = x +                                      x = -

x+ y – 16 = 0                                   -- – 16 = 0

                                                     - =8,  = -8

Titi kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai f (x,y) = 8 (8) = 64.

2 ). Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi ongkos

            gabungan adalah :

                 C(x,y) =  +  3xy – 6y

       Untuk meminimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harus

       diproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin..?

Jawab :

Persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42

Ditulis : g (x,y) = x + y – 42 =0

Fungsi penolongnya:

F () = C(x,y) +  g (x,y)

          =    +  3xy – 6y) + (x + y - 42)

=  0

 3 x - 6  +    =  0

  x + y – 42     =  0

Penyelesaian dari system ini memberikan  x = 33, y= 9, =- 93 maka biaya minimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x da 9 mesin y.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari rumusan masalah dan pembahasan pada BAB II, maka penulis dapat menyimpulkan bahwa Metode Lagrange Multiplier adalah suatu metode untuk memperoleh nilai-nilai maksimum relative atau minimum relative dari fungsi f (x,y)yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g (x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.

F()=f(x,y) +  g(x,y)

Dengan persyaratan :

Yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minum relative. Parameter  yang tidaktergantung pada x dan y disebut pengali lagrange.

B. Saran

Untuk mempermudah menyelsaikan persoalan yang menggunakan metode lagrange multiplier, penulis menyarankan untuk menggunakan buku kalkulus lanjutan.

DAFTAR PUSTAKA

Soemartojo, Noeniek.1987. Kalkulus Lanjutan. Jakarta : Universitas Indonesia

http://rumindahutagalung.blogspot.com. 11 Desember 2013. 09.00 WIB.

         

DAFTAR ISI

Halaman judul             ………………………………………………….       i

Halaman Pengesahan  ………………………………………………….      ii

Kata Pengantar ………………………………………………………..        iii

Daftar isi         …………………………………………………………..      iv

BAB I PENDAHULUAN     …………………………………………..      1

            A. Latar Belakang Masalah …………………………………...        1

            B. Rumusan Masalah ………………………………………….        1

            C. Tujuan Masalah …………………………………………….        1

            D. Batasan Masalah    ……………………………………………    2

            E. Manfaat Masalah …………………………………………….      2

BAB II PEMBAHASAN ………………………………………………     3

            A. Materi Penunjang ……………………………………………      3

            B. Materi Pokok ………………………………………………...      3

BAB III PENUTUP …………………………………………………….     6

            A. Kesimpulan ………………………………………………….      6

            B. Saran …………………………………………………………     6

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………..     8

Zuhra_4